\(\int \frac {(A+B \sin (e+f x)) (c-c \sin (e+f x))^5}{(a+a \sin (e+f x))^2} \, dx\) [60]

Optimal result

Integrand size = 36, antiderivative size = 240 \[ \int \frac {(A+B \sin (e+f x)) (c-c \sin (e+f x))^5}{(a+a \sin (e+f x))^2} \, dx=\frac {105 (4 A-7 B) c^5 x}{8 a^2}+\frac {35 (4 A-7 B) c^5 \cos ^3(e+f x)}{4 a^2 f}+\frac {105 (4 A-7 B) c^5 \cos (e+f x) \sin (e+f x)}{8 a^2 f}-\frac {a^5 (A-B) c^5 \cos ^{11}(e+f x)}{3 f (a+a \sin (e+f x))^7}+\frac {2 a^3 (4 A-7 B) c^5 \cos ^9(e+f x)}{3 f (a+a \sin (e+f x))^5}+\frac {6 a^4 (4 A-7 B) c^5 \cos ^7(e+f x)}{f \left (a^2+a^2 \sin (e+f x)\right )^3}+\frac {21 (4 A-7 B) c^5 \cos ^5(e+f x)}{4 f \left (a^2+a^2 \sin (e+f x)\right )} \]

[Out]

105/8*(4*A-7*B)*c^5*x/a^2+35/4*(4*A-7*B)*c^5*cos(f*x+e)^3/a^2/f+105/8*(4*A-7*B)*c^5*cos(f*x+e)*sin(f*x+e)/a^2/
f-1/3*a^5*(A-B)*c^5*cos(f*x+e)^11/f/(a+a*sin(f*x+e))^7+2/3*a^3*(4*A-7*B)*c^5*cos(f*x+e)^9/f/(a+a*sin(f*x+e))^5
+6*a^4*(4*A-7*B)*c^5*cos(f*x+e)^7/f/(a^2+a^2*sin(f*x+e))^3+21/4*(4*A-7*B)*c^5*cos(f*x+e)^5/f/(a^2+a^2*sin(f*x+
e))

Rubi [A] (verified)

Time = 0.31 (sec) , antiderivative size = 240, normalized size of antiderivative = 1.00, number of steps used = 8, number of rules used = 7, \(\frac {\text {number of rules}}{\text {integrand size}}\) = 0.194, Rules used = {3046, 2938, 2759, 2758, 2761, 2715, 8} \[ \int \frac {(A+B \sin (e+f x)) (c-c \sin (e+f x))^5}{(a+a \sin (e+f x))^2} \, dx=-\frac {a^5 c^5 (A-B) \cos ^{11}(e+f x)}{3 f (a \sin (e+f x)+a)^7}+\frac {2 a^3 c^5 (4 A-7 B) \cos ^9(e+f x)}{3 f (a \sin (e+f x)+a)^5}+\frac {35 c^5 (4 A-7 B) \cos ^3(e+f x)}{4 a^2 f}+\frac {21 c^5 (4 A-7 B) \cos ^5(e+f x)}{4 f \left (a^2 \sin (e+f x)+a^2\right )}+\frac {105 c^5 (4 A-7 B) \sin (e+f x) \cos (e+f x)}{8 a^2 f}+\frac {105 c^5 x (4 A-7 B)}{8 a^2}+\frac {6 a^4 c^5 (4 A-7 B) \cos ^7(e+f x)}{f \left (a^2 \sin (e+f x)+a^2\right )^3} \]

[In]

Int[((A + B*Sin[e + f*x])*(c - c*Sin[e + f*x])^5)/(a + a*Sin[e + f*x])^2,x]

[Out]

(105*(4*A - 7*B)*c^5*x)/(8*a^2) + (35*(4*A - 7*B)*c^5*Cos[e + f*x]^3)/(4*a^2*f) + (105*(4*A - 7*B)*c^5*Cos[e +
f*x]*Sin[e + f*x])/(8*a^2*f) - (a^5*(A - B)*c^5*Cos[e + f*x]^11)/(3*f*(a + a*Sin[e + f*x])^7) + (2*a^3*(4*A -
7*B)*c^5*Cos[e + f*x]^9)/(3*f*(a + a*Sin[e + f*x])^5) + (6*a^4*(4*A - 7*B)*c^5*Cos[e + f*x]^7)/(f*(a^2 + a^2*
Sin[e + f*x])^3) + (21*(4*A - 7*B)*c^5*Cos[e + f*x]^5)/(4*f*(a^2 + a^2*Sin[e + f*x]))

Rule 8

Int[a_, x_Symbol] :> Simp[a*x, x] /; FreeQ[a, x]

Rule 2715

Int[((b_.)*sin[(c_.) + (d_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[(-b)*Cos[c + d*x]*((b*Sin[c + d*x])^(n - 1)/(d*n))
, x] + Dist[b^2*((n - 1)/n), Int[(b*Sin[c + d*x])^(n - 2), x], x] /; FreeQ[{b, c, d}, x] && GtQ[n, 1] && Integ
erQ[2*n]

Rule 2758

Int[(cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(g_.))^(p_)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_), x_Symbol] :> Simp[g*(g*C
os[e + f*x])^(p - 1)*((a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1)/(b*f*(m + p))), x] + Dist[g^2*((p - 1)/(a*(m + p))), Int[(g
*Cos[e + f*x])^(p - 2)*(a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, g}, x] && EqQ[a^2 - b^2, 0]
&& LtQ[m, -1] && GtQ[p, 1] && (GtQ[m, -2] || EqQ[2*m + p + 1, 0] || (EqQ[m, -2] && IntegerQ[p])) && NeQ[m + p,
0] && IntegersQ[2*m, 2*p]

Rule 2759

Int[(cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(g_.))^(p_)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_), x_Symbol] :> Simp[2*g*(g
*Cos[e + f*x])^(p - 1)*((a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1)/(b*f*(2*m + p + 1))), x] + Dist[g^2*((p - 1)/(b^2*(2*m +
p + 1))), Int[(g*Cos[e + f*x])^(p - 2)*(a + b*Sin[e + f*x])^(m + 2), x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, g}, x] && Eq
Q[a^2 - b^2, 0] && LeQ[m, -2] && GtQ[p, 1] && NeQ[2*m + p + 1, 0] &&  !ILtQ[m + p + 1, 0] && IntegersQ[2*m, 2*
p]

Rule 2761

Int[(cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(g_.))^(p_)/((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[g*((g*Cos[e
+ f*x])^(p - 1)/(b*f*(p - 1))), x] + Dist[g^2/a, Int[(g*Cos[e + f*x])^(p - 2), x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, g
}, x] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && GtQ[p, 1] && IntegerQ[2*p]

Rule 2938

Int[(cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(g_.))^(p_)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_.) + (d_.)*sin[(e_.)
+ (f_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[(b*c - a*d)*(g*Cos[e + f*x])^(p + 1)*((a + b*Sin[e + f*x])^m/(a*f*g*(2*m + p
+ 1))), x] + Dist[(a*d*m + b*c*(m + p + 1))/(a*b*(2*m + p + 1)), Int[(g*Cos[e + f*x])^p*(a + b*Sin[e + f*x])^
(m + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, m, p}, x] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && (LtQ[m, -1] || ILtQ[Simplify[
m + p], 0]) && NeQ[2*m + p + 1, 0]

Rule 3046

Int[((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((A_.) + (B_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])*((c_) + (d_.)*sin[(e_
.) + (f_.)*(x_)])^(n_.), x_Symbol] :> Dist[a^m*c^m, Int[Cos[e + f*x]^(2*m)*(c + d*Sin[e + f*x])^(n - m)*(A + B
*Sin[e + f*x]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B, n}, x] && EqQ[b*c + a*d, 0] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && I
ntegerQ[m] &&  !(IntegerQ[n] && ((LtQ[m, 0] && GtQ[n, 0]) || LtQ[0, n, m] || LtQ[m, n, 0]))

Rubi steps \begin{align*} \text {integral}& = \left (a^5 c^5\right ) \int \frac {\cos ^{10}(e+f x) (A+B \sin (e+f x))}{(a+a \sin (e+f x))^7} \, dx \\ & = -\frac {a^5 (A-B) c^5 \cos ^{11}(e+f x)}{3 f (a+a \sin (e+f x))^7}-\frac {1}{3} \left (a^4 (4 A-7 B) c^5\right ) \int \frac {\cos ^{10}(e+f x)}{(a+a \sin (e+f x))^6} \, dx \\ & = -\frac {a^5 (A-B) c^5 \cos ^{11}(e+f x)}{3 f (a+a \sin (e+f x))^7}+\frac {2 a^3 (4 A-7 B) c^5 \cos ^9(e+f x)}{3 f (a+a \sin (e+f x))^5}+\left (3 a^2 (4 A-7 B) c^5\right ) \int \frac {\cos ^8(e+f x)}{(a+a \sin (e+f x))^4} \, dx \\ & = -\frac {a^5 (A-B) c^5 \cos ^{11}(e+f x)}{3 f (a+a \sin (e+f x))^7}+\frac {2 a^3 (4 A-7 B) c^5 \cos ^9(e+f x)}{3 f (a+a \sin (e+f x))^5}+\frac {6 a (4 A-7 B) c^5 \cos ^7(e+f x)}{f (a+a \sin (e+f x))^3}+\left (21 (4 A-7 B) c^5\right ) \int \frac {\cos ^6(e+f x)}{(a+a \sin (e+f x))^2} \, dx \\ & = -\frac {a^5 (A-B) c^5 \cos ^{11}(e+f x)}{3 f (a+a \sin (e+f x))^7}+\frac {2 a^3 (4 A-7 B) c^5 \cos ^9(e+f x)}{3 f (a+a \sin (e+f x))^5}+\frac {6 a (4 A-7 B) c^5 \cos ^7(e+f x)}{f (a+a \sin (e+f x))^3}+\frac {21 (4 A-7 B) c^5 \cos ^5(e+f x)}{4 f \left (a^2+a^2 \sin (e+f x)\right )}+\frac {\left (105 (4 A-7 B) c^5\right ) \int \frac {\cos ^4(e+f x)}{a+a \sin (e+f x)} \, dx}{4 a} \\ & = \frac {35 (4 A-7 B) c^5 \cos ^3(e+f x)}{4 a^2 f}-\frac {a^5 (A-B) c^5 \cos ^{11}(e+f x)}{3 f (a+a \sin (e+f x))^7}+\frac {2 a^3 (4 A-7 B) c^5 \cos ^9(e+f x)}{3 f (a+a \sin (e+f x))^5}+\frac {6 a (4 A-7 B) c^5 \cos ^7(e+f x)}{f (a+a \sin (e+f x))^3}+\frac {21 (4 A-7 B) c^5 \cos ^5(e+f x)}{4 f \left (a^2+a^2 \sin (e+f x)\right )}+\frac {\left (105 (4 A-7 B) c^5\right ) \int \cos ^2(e+f x) \, dx}{4 a^2} \\ & = \frac {35 (4 A-7 B) c^5 \cos ^3(e+f x)}{4 a^2 f}+\frac {105 (4 A-7 B) c^5 \cos (e+f x) \sin (e+f x)}{8 a^2 f}-\frac {a^5 (A-B) c^5 \cos ^{11}(e+f x)}{3 f (a+a \sin (e+f x))^7}+\frac {2 a^3 (4 A-7 B) c^5 \cos ^9(e+f x)}{3 f (a+a \sin (e+f x))^5}+\frac {6 a (4 A-7 B) c^5 \cos ^7(e+f x)}{f (a+a \sin (e+f x))^3}+\frac {21 (4 A-7 B) c^5 \cos ^5(e+f x)}{4 f \left (a^2+a^2 \sin (e+f x)\right )}+\frac {\left (105 (4 A-7 B) c^5\right ) \int 1 \, dx}{8 a^2} \\ & = \frac {105 (4 A-7 B) c^5 x}{8 a^2}+\frac {35 (4 A-7 B) c^5 \cos ^3(e+f x)}{4 a^2 f}+\frac {105 (4 A-7 B) c^5 \cos (e+f x) \sin (e+f x)}{8 a^2 f}-\frac {a^5 (A-B) c^5 \cos ^{11}(e+f x)}{3 f (a+a \sin (e+f x))^7}+\frac {2 a^3 (4 A-7 B) c^5 \cos ^9(e+f x)}{3 f (a+a \sin (e+f x))^5}+\frac {6 a (4 A-7 B) c^5 \cos ^7(e+f x)}{f (a+a \sin (e+f x))^3}+\frac {21 (4 A-7 B) c^5 \cos ^5(e+f x)}{4 f \left (a^2+a^2 \sin (e+f x)\right )} \\ \end{align*}

Mathematica [A] (verified)

Time = 11.80 (sec) , antiderivative size = 354, normalized size of antiderivative = 1.48 \[ \int \frac {(A+B \sin (e+f x)) (c-c \sin (e+f x))^5}{(a+a \sin (e+f x))^2} \, dx=\frac {\left (\cos \left (\frac {1}{2} (e+f x)\right )+\sin \left (\frac {1}{2} (e+f x)\right )\right ) (c-c \sin (e+f x))^5 \left (2048 (A-B) \sin \left (\frac {1}{2} (e+f x)\right )-1024 (A-B) \left (\cos \left (\frac {1}{2} (e+f x)\right )+\sin \left (\frac {1}{2} (e+f x)\right )\right )-1024 (13 A-19 B) \sin \left (\frac {1}{2} (e+f x)\right ) \left (\cos \left (\frac {1}{2} (e+f x)\right )+\sin \left (\frac {1}{2} (e+f x)\right )\right )^2+1260 (4 A-7 B) (e+f x) \left (\cos \left (\frac {1}{2} (e+f x)\right )+\sin \left (\frac {1}{2} (e+f x)\right )\right )^3+24 (95 A-217 B) \cos (e+f x) \left (\cos \left (\frac {1}{2} (e+f x)\right )+\sin \left (\frac {1}{2} (e+f x)\right )\right )^3-8 (A-7 B) \cos (3 (e+f x)) \left (\cos \left (\frac {1}{2} (e+f x)\right )+\sin \left (\frac {1}{2} (e+f x)\right )\right )^3-24 (7 A-24 B) \left (\cos \left (\frac {1}{2} (e+f x)\right )+\sin \left (\frac {1}{2} (e+f x)\right )\right )^3 \sin (2 (e+f x))-3 B \left (\cos \left (\frac {1}{2} (e+f x)\right )+\sin \left (\frac {1}{2} (e+f x)\right )\right )^3 \sin (4 (e+f x))\right )}{96 a^2 f \left (\cos \left (\frac {1}{2} (e+f x)\right )-\sin \left (\frac {1}{2} (e+f x)\right )\right )^{10} (1+\sin (e+f x))^2} \]

[In]

Integrate[((A + B*Sin[e + f*x])*(c - c*Sin[e + f*x])^5)/(a + a*Sin[e + f*x])^2,x]

[Out]

((Cos[(e + f*x)/2] + Sin[(e + f*x)/2])*(c - c*Sin[e + f*x])^5*(2048*(A - B)*Sin[(e + f*x)/2] - 1024*(A - B)*(C
os[(e + f*x)/2] + Sin[(e + f*x)/2]) - 1024*(13*A - 19*B)*Sin[(e + f*x)/2]*(Cos[(e + f*x)/2] + Sin[(e + f*x)/2]
)^2 + 1260*(4*A - 7*B)*(e + f*x)*(Cos[(e + f*x)/2] + Sin[(e + f*x)/2])^3 + 24*(95*A - 217*B)*Cos[e + f*x]*(Cos
[(e + f*x)/2] + Sin[(e + f*x)/2])^3 - 8*(A - 7*B)*Cos[3*(e + f*x)]*(Cos[(e + f*x)/2] + Sin[(e + f*x)/2])^3 - 2
4*(7*A - 24*B)*(Cos[(e + f*x)/2] + Sin[(e + f*x)/2])^3*Sin[2*(e + f*x)] - 3*B*(Cos[(e + f*x)/2] + Sin[(e + f*x
)/2])^3*Sin[4*(e + f*x)]))/(96*a^2*f*(Cos[(e + f*x)/2] - Sin[(e + f*x)/2])^10*(1 + Sin[e + f*x])^2)

Maple [A] (verified)

Time = 1.37 (sec) , antiderivative size = 252, normalized size of antiderivative = 1.05

method	result	size
derivativedivides	\(\frac {2 c^{5} \left (\frac {\left (\frac {7 A}{2}-\frac {95 B}{8}\right ) \left (\tan ^{7}\left (\frac {f x}{2}+\frac {e}{2}\right )\right )+\left (23 A -49 B \right ) \left (\tan ^{6}\left (\frac {f x}{2}+\frac {e}{2}\right )\right )+\left (\frac {7 A}{2}-\frac {103 B}{8}\right ) \left (\tan ^{5}\left (\frac {f x}{2}+\frac {e}{2}\right )\right )+\left (71 A -161 B \right ) \left (\tan ^{4}\left (\frac {f x}{2}+\frac {e}{2}\right )\right )+\left (-\frac {7 A}{2}+\frac {103 B}{8}\right ) \left (\tan ^{3}\left (\frac {f x}{2}+\frac {e}{2}\right )\right )+\left (\frac {215 A}{3}-\frac {497 B}{3}\right ) \left (\tan ^{2}\left (\frac {f x}{2}+\frac {e}{2}\right )\right )+\left (-\frac {7 A}{2}+\frac {95 B}{8}\right ) \tan \left (\frac {f x}{2}+\frac {e}{2}\right )+\frac {71 A}{3}-\frac {161 B}{3}}{\left (1+\tan ^{2}\left (\frac {f x}{2}+\frac {e}{2}\right )\right )^{4}}+\frac {105 \left (4 A -7 B \right ) \arctan \left (\tan \left (\frac {f x}{2}+\frac {e}{2}\right )\right )}{8}-\frac {-64 A +64 B}{2 \left (\tan \left (\frac {f x}{2}+\frac {e}{2}\right )+1\right )^{2}}-\frac {-48 A +80 B}{\tan \left (\frac {f x}{2}+\frac {e}{2}\right )+1}-\frac {64 A -64 B}{3 \left (\tan \left (\frac {f x}{2}+\frac {e}{2}\right )+1\right )^{3}}\right )}{f \,a^{2}}\)	\(252\)
default	\(\frac {2 c^{5} \left (\frac {\left (\frac {7 A}{2}-\frac {95 B}{8}\right ) \left (\tan ^{7}\left (\frac {f x}{2}+\frac {e}{2}\right )\right )+\left (23 A -49 B \right ) \left (\tan ^{6}\left (\frac {f x}{2}+\frac {e}{2}\right )\right )+\left (\frac {7 A}{2}-\frac {103 B}{8}\right ) \left (\tan ^{5}\left (\frac {f x}{2}+\frac {e}{2}\right )\right )+\left (71 A -161 B \right ) \left (\tan ^{4}\left (\frac {f x}{2}+\frac {e}{2}\right )\right )+\left (-\frac {7 A}{2}+\frac {103 B}{8}\right ) \left (\tan ^{3}\left (\frac {f x}{2}+\frac {e}{2}\right )\right )+\left (\frac {215 A}{3}-\frac {497 B}{3}\right ) \left (\tan ^{2}\left (\frac {f x}{2}+\frac {e}{2}\right )\right )+\left (-\frac {7 A}{2}+\frac {95 B}{8}\right ) \tan \left (\frac {f x}{2}+\frac {e}{2}\right )+\frac {71 A}{3}-\frac {161 B}{3}}{\left (1+\tan ^{2}\left (\frac {f x}{2}+\frac {e}{2}\right )\right )^{4}}+\frac {105 \left (4 A -7 B \right ) \arctan \left (\tan \left (\frac {f x}{2}+\frac {e}{2}\right )\right )}{8}-\frac {-64 A +64 B}{2 \left (\tan \left (\frac {f x}{2}+\frac {e}{2}\right )+1\right )^{2}}-\frac {-48 A +80 B}{\tan \left (\frac {f x}{2}+\frac {e}{2}\right )+1}-\frac {64 A -64 B}{3 \left (\tan \left (\frac {f x}{2}+\frac {e}{2}\right )+1\right )^{3}}\right )}{f \,a^{2}}\)	\(252\)
parallelrisch	\(-\frac {75 c^{5} \left (\frac {\left (-84 f x A +147 f x B -\frac {2543}{15} A +\frac {4514}{15} B \right ) \cos \left (\frac {f x}{2}+\frac {e}{2}\right )}{5}+\frac {\left (-49 f x B +28 f x A +\frac {712}{45} B -\frac {481}{45} A \right ) \cos \left (\frac {3 f x}{2}+\frac {3 e}{2}\right )}{5}+\frac {\left (-84 f x A +147 f x B -\frac {1409}{15} A +\frac {2414}{15} B \right ) \sin \left (\frac {f x}{2}+\frac {e}{2}\right )}{5}+\frac {\left (49 f x B -28 f x A -\frac {4433}{45} A +\frac {1528}{9} B \right ) \sin \left (\frac {3 f x}{2}+\frac {3 e}{2}\right )}{5}+\left (-\frac {81 B}{40}+A \right ) \cos \left (\frac {5 f x}{2}+\frac {5 e}{2}\right )+\frac {\left (\frac {139 B}{24}-2 A \right ) \cos \left (\frac {7 f x}{2}+\frac {7 e}{2}\right )}{25}+\frac {\left (\frac {47 B}{8}-A \right ) \cos \left (\frac {9 f x}{2}+\frac {9 e}{2}\right )}{225}+\left (-A +\frac {81 B}{40}\right ) \sin \left (\frac {5 f x}{2}+\frac {5 e}{2}\right )+\frac {\left (\frac {139 B}{24}-2 A \right ) \sin \left (\frac {7 f x}{2}+\frac {7 e}{2}\right )}{25}+\frac {\left (A -\frac {47 B}{8}\right ) \sin \left (\frac {9 f x}{2}+\frac {9 e}{2}\right )}{225}-\frac {B \left (\sin \left (\frac {11 f x}{2}+\frac {11 e}{2}\right )+\cos \left (\frac {11 f x}{2}+\frac {11 e}{2}\right )\right )}{600}\right )}{8 f \,a^{2} \left (3 \cos \left (\frac {f x}{2}+\frac {e}{2}\right )-\cos \left (\frac {3 f x}{2}+\frac {3 e}{2}\right )+\sin \left (\frac {3 f x}{2}+\frac {3 e}{2}\right )+3 \sin \left (\frac {f x}{2}+\frac {e}{2}\right )\right )}\)	\(294\)
risch	\(\frac {105 c^{5} x A}{2 a^{2}}-\frac {735 c^{5} x B}{8 a^{2}}+\frac {7 i c^{5} {\mathrm e}^{2 i \left (f x +e \right )} A}{8 a^{2} f}-\frac {3 i c^{5} {\mathrm e}^{2 i \left (f x +e \right )} B}{a^{2} f}+\frac {95 c^{5} {\mathrm e}^{i \left (f x +e \right )} A}{8 a^{2} f}-\frac {217 c^{5} {\mathrm e}^{i \left (f x +e \right )} B}{8 a^{2} f}+\frac {95 c^{5} {\mathrm e}^{-i \left (f x +e \right )} A}{8 a^{2} f}-\frac {217 c^{5} {\mathrm e}^{-i \left (f x +e \right )} B}{8 a^{2} f}-\frac {7 i c^{5} {\mathrm e}^{-2 i \left (f x +e \right )} A}{8 a^{2} f}+\frac {3 i c^{5} {\mathrm e}^{-2 i \left (f x +e \right )} B}{a^{2} f}+\frac {256 i A \,c^{5} {\mathrm e}^{i \left (f x +e \right )}+160 A \,c^{5} {\mathrm e}^{2 i \left (f x +e \right )}-384 i B \,c^{5} {\mathrm e}^{i \left (f x +e \right )}-224 B \,c^{5} {\mathrm e}^{2 i \left (f x +e \right )}-\frac {416 A \,c^{5}}{3}+\frac {608 B \,c^{5}}{3}}{f \,a^{2} \left ({\mathrm e}^{i \left (f x +e \right )}+i\right )^{3}}-\frac {B \,c^{5} \sin \left (4 f x +4 e \right )}{32 a^{2} f}-\frac {c^{5} \cos \left (3 f x +3 e \right ) A}{12 a^{2} f}+\frac {7 c^{5} \cos \left (3 f x +3 e \right ) B}{12 a^{2} f}\)	\(354\)
norman	\(\text {Expression too large to display}\)	\(918\)

[In]

int((A+B*sin(f*x+e))*(c-c*sin(f*x+e))^5/(a+a*sin(f*x+e))^2,x,method=_RETURNVERBOSE)

[Out]

2/f*c^5/a^2*(((7/2*A-95/8*B)*tan(1/2*f*x+1/2*e)^7+(23*A-49*B)*tan(1/2*f*x+1/2*e)^6+(7/2*A-103/8*B)*tan(1/2*f*x
+1/2*e)^5+(71*A-161*B)*tan(1/2*f*x+1/2*e)^4+(-7/2*A+103/8*B)*tan(1/2*f*x+1/2*e)^3+(215/3*A-497/3*B)*tan(1/2*f*
x+1/2*e)^2+(-7/2*A+95/8*B)*tan(1/2*f*x+1/2*e)+71/3*A-161/3*B)/(1+tan(1/2*f*x+1/2*e)^2)^4+105/8*(4*A-7*B)*arcta
n(tan(1/2*f*x+1/2*e))-1/2*(-64*A+64*B)/(tan(1/2*f*x+1/2*e)+1)^2-(-48*A+80*B)/(tan(1/2*f*x+1/2*e)+1)-1/3*(64*A-
64*B)/(tan(1/2*f*x+1/2*e)+1)^3)

Fricas [A] (verification not implemented)

none

Time = 0.28 (sec) , antiderivative size = 370, normalized size of antiderivative = 1.54 \[ \int \frac {(A+B \sin (e+f x)) (c-c \sin (e+f x))^5}{(a+a \sin (e+f x))^2} \, dx=-\frac {6 \, B c^{5} \cos \left (f x + e\right )^{6} + 4 \, {\left (2 \, A - 11 \, B\right )} c^{5} \cos \left (f x + e\right )^{5} + {\left (76 \, A - 241 \, B\right )} c^{5} \cos \left (f x + e\right )^{4} - 2 \, {\left (212 \, A - 431 \, B\right )} c^{5} \cos \left (f x + e\right )^{3} + 630 \, {\left (4 \, A - 7 \, B\right )} c^{5} f x - 256 \, {\left (A - B\right )} c^{5} - {\left (315 \, {\left (4 \, A - 7 \, B\right )} c^{5} f x - {\left (2156 \, A - 3485 \, B\right )} c^{5}\right )} \cos \left (f x + e\right )^{2} + {\left (315 \, {\left (4 \, A - 7 \, B\right )} c^{5} f x + 2 \, {\left (1196 \, A - 2141 \, B\right )} c^{5}\right )} \cos \left (f x + e\right ) + {\left (6 \, B c^{5} \cos \left (f x + e\right )^{5} - 2 \, {\left (4 \, A - 25 \, B\right )} c^{5} \cos \left (f x + e\right )^{4} + {\left (68 \, A - 191 \, B\right )} c^{5} \cos \left (f x + e\right )^{3} + 630 \, {\left (4 \, A - 7 \, B\right )} c^{5} f x + 3 \, {\left (164 \, A - 351 \, B\right )} c^{5} \cos \left (f x + e\right )^{2} + 256 \, {\left (A - B\right )} c^{5} + {\left (315 \, {\left (4 \, A - 7 \, B\right )} c^{5} f x + 2 \, {\left (1324 \, A - 2269 \, B\right )} c^{5}\right )} \cos \left (f x + e\right )\right )} \sin \left (f x + e\right )}{24 \, {\left (a^{2} f \cos \left (f x + e\right )^{2} - a^{2} f \cos \left (f x + e\right ) - 2 \, a^{2} f - {\left (a^{2} f \cos \left (f x + e\right ) + 2 \, a^{2} f\right )} \sin \left (f x + e\right )\right )}} \]

[In]

integrate((A+B*sin(f*x+e))*(c-c*sin(f*x+e))^5/(a+a*sin(f*x+e))^2,x, algorithm="fricas")

[Out]

-1/24*(6*B*c^5*cos(f*x + e)^6 + 4*(2*A - 11*B)*c^5*cos(f*x + e)^5 + (76*A - 241*B)*c^5*cos(f*x + e)^4 - 2*(212
*A - 431*B)*c^5*cos(f*x + e)^3 + 630*(4*A - 7*B)*c^5*f*x - 256*(A - B)*c^5 - (315*(4*A - 7*B)*c^5*f*x - (2156*
A - 3485*B)*c^5)*cos(f*x + e)^2 + (315*(4*A - 7*B)*c^5*f*x + 2*(1196*A - 2141*B)*c^5)*cos(f*x + e) + (6*B*c^5*
cos(f*x + e)^5 - 2*(4*A - 25*B)*c^5*cos(f*x + e)^4 + (68*A - 191*B)*c^5*cos(f*x + e)^3 + 630*(4*A - 7*B)*c^5*f
*x + 3*(164*A - 351*B)*c^5*cos(f*x + e)^2 + 256*(A - B)*c^5 + (315*(4*A - 7*B)*c^5*f*x + 2*(1324*A - 2269*B)*c
^5)*cos(f*x + e))*sin(f*x + e))/(a^2*f*cos(f*x + e)^2 - a^2*f*cos(f*x + e) - 2*a^2*f - (a^2*f*cos(f*x + e) + 2
*a^2*f)*sin(f*x + e))

Sympy [B] (verification not implemented)

Leaf count of result is larger than twice the leaf count of optimal. 10608 vs. \(2 (224) = 448\).

Time = 21.52 (sec) , antiderivative size = 10608, normalized size of antiderivative = 44.20 \[ \int \frac {(A+B \sin (e+f x)) (c-c \sin (e+f x))^5}{(a+a \sin (e+f x))^2} \, dx=\text {Too large to display} \]

[In]

integrate((A+B*sin(f*x+e))*(c-c*sin(f*x+e))**5/(a+a*sin(f*x+e))**2,x)

[Out]

Piecewise((1260*A*c**5*f*x*tan(e/2 + f*x/2)**11/(24*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**11 + 72*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**
10 + 168*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**9 + 312*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**8 + 432*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**7 + 528*a*
*2*f*tan(e/2 + f*x/2)**6 + 528*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**5 + 432*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**4 + 312*a**2*f*tan(e/
2 + f*x/2)**3 + 168*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**2 + 72*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2) + 24*a**2*f) + 3780*A*c**5*f*x*tan
(e/2 + f*x/2)**10/(24*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**11 + 72*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**10 + 168*a**2*f*tan(e/2 + f*x/
2)**9 + 312*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**8 + 432*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**7 + 528*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**6 + 528
*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**5 + 432*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**4 + 312*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**3 + 168*a**2*f*tan
(e/2 + f*x/2)**2 + 72*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2) + 24*a**2*f) + 8820*A*c**5*f*x*tan(e/2 + f*x/2)**9/(24*a**2*f*ta
n(e/2 + f*x/2)**11 + 72*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**10 + 168*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**9 + 312*a**2*f*tan(e/2 + f*
x/2)**8 + 432*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**7 + 528*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**6 + 528*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**5 + 4
32*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**4 + 312*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**3 + 168*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**2 + 72*a**2*f*ta
n(e/2 + f*x/2) + 24*a**2*f) + 16380*A*c**5*f*x*tan(e/2 + f*x/2)**8/(24*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**11 + 72*a**2*f
*tan(e/2 + f*x/2)**10 + 168*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**9 + 312*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**8 + 432*a**2*f*tan(e/2 +
f*x/2)**7 + 528*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**6 + 528*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**5 + 432*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**4
+ 312*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**3 + 168*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**2 + 72*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2) + 24*a**2*f) +
22680*A*c**5*f*x*tan(e/2 + f*x/2)**7/(24*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**11 + 72*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**10 + 168*a*
*2*f*tan(e/2 + f*x/2)**9 + 312*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**8 + 432*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**7 + 528*a**2*f*tan(e/
2 + f*x/2)**6 + 528*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**5 + 432*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**4 + 312*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)*
*3 + 168*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**2 + 72*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2) + 24*a**2*f) + 27720*A*c**5*f*x*tan(e/2 + f*x
/2)**6/(24*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**11 + 72*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**10 + 168*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**9 + 312
*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**8 + 432*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**7 + 528*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**6 + 528*a**2*f*tan
(e/2 + f*x/2)**5 + 432*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**4 + 312*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**3 + 168*a**2*f*tan(e/2 + f*x/
2)**2 + 72*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2) + 24*a**2*f) + 27720*A*c**5*f*x*tan(e/2 + f*x/2)**5/(24*a**2*f*tan(e/2 + f*
x/2)**11 + 72*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**10 + 168*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**9 + 312*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**8 +
432*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**7 + 528*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**6 + 528*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**5 + 432*a**2*f*
tan(e/2 + f*x/2)**4 + 312*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**3 + 168*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**2 + 72*a**2*f*tan(e/2 + f*
x/2) + 24*a**2*f) + 22680*A*c**5*f*x*tan(e/2 + f*x/2)**4/(24*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**11 + 72*a**2*f*tan(e/2 +
f*x/2)**10 + 168*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**9 + 312*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**8 + 432*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**7
+ 528*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**6 + 528*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**5 + 432*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**4 + 312*a**2
*f*tan(e/2 + f*x/2)**3 + 168*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**2 + 72*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2) + 24*a**2*f) + 16380*A*c*
*5*f*x*tan(e/2 + f*x/2)**3/(24*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**11 + 72*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**10 + 168*a**2*f*tan(e
/2 + f*x/2)**9 + 312*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**8 + 432*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**7 + 528*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)
**6 + 528*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**5 + 432*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**4 + 312*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**3 + 168*a
**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**2 + 72*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2) + 24*a**2*f) + 8820*A*c**5*f*x*tan(e/2 + f*x/2)**2/(24*
a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**11 + 72*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**10 + 168*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**9 + 312*a**2*f*tan
(e/2 + f*x/2)**8 + 432*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**7 + 528*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**6 + 528*a**2*f*tan(e/2 + f*x/
2)**5 + 432*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**4 + 312*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**3 + 168*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**2 + 72*
a**2*f*tan(e/2 + f*x/2) + 24*a**2*f) + 3780*A*c**5*f*x*tan(e/2 + f*x/2)/(24*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**11 + 72*a
**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**10 + 168*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**9 + 312*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**8 + 432*a**2*f*tan(
e/2 + f*x/2)**7 + 528*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**6 + 528*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**5 + 432*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2
)**4 + 312*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**3 + 168*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**2 + 72*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2) + 24*a**2*
f) + 1260*A*c**5*f*x/(24*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**11 + 72*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**10 + 168*a**2*f*tan(e/2 + f
*x/2)**9 + 312*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**8 + 432*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**7 + 528*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**6 +
528*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**5 + 432*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**4 + 312*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**3 + 168*a**2*f*
tan(e/2 + f*x/2)**2 + 72*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2) + 24*a**2*f) + 2472*A*c**5*tan(e/2 + f*x/2)**10/(24*a**2*f*ta
n(e/2 + f*x/2)**11 + 72*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**10 + 168*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**9 + 312*a**2*f*tan(e/2 + f*
x/2)**8 + 432*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**7 + 528*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**6 + 528*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**5 + 4
32*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**4 + 312*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**3 + 168*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**2 + 72*a**2*f*ta
n(e/2 + f*x/2) + 24*a**2*f) + 7752*A*c**5*tan(e/2 + f*x/2)**9/(24*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**11 + 72*a**2*f*tan(
e/2 + f*x/2)**10 + 168*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**9 + 312*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**8 + 432*a**2*f*tan(e/2 + f*x/
2)**7 + 528*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**6 + 528*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**5 + 432*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**4 + 312
*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**3 + 168*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**2 + 72*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2) + 24*a**2*f) + 16016
*A*c**5*tan(e/2 + f*x/2)**8/(24*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**11 + 72*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**10 + 168*a**2*f*tan(
e/2 + f*x/2)**9 + 312*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**8 + 432*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**7 + 528*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2
)**6 + 528*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**5 + 432*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**4 + 312*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**3 + 168*
a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**2 + 72*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2) + 24*a**2*f) + 31968*A*c**5*tan(e/2 + f*x/2)**7/(24*a*
*2*f*tan(e/2 + f*x/2)**11 + 72*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**10 + 168*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**9 + 312*a**2*f*tan(e
/2 + f*x/2)**8 + 432*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**7 + 528*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**6 + 528*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)
**5 + 432*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**4 + 312*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**3 + 168*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**2 + 72*a*
*2*f*tan(e/2 + f*x/2) + 24*a**2*f) + 36752*A*c**5*tan(e/2 + f*x/2)**6/(24*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**11 + 72*a**
2*f*tan(e/2 + f*x/2)**10 + 168*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**9 + 312*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**8 + 432*a**2*f*tan(e/
2 + f*x/2)**7 + 528*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**6 + 528*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**5 + 432*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)*
*4 + 312*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**3 + 168*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**2 + 72*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2) + 24*a**2*f)
+ 50192*A*c**5*tan(e/2 + f*x/2)**5/(24*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**11 + 72*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**10 + 168*a**
2*f*tan(e/2 + f*x/2)**9 + 312*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**8 + 432*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**7 + 528*a**2*f*tan(e/2
+ f*x/2)**6 + 528*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**5 + 432*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**4 + 312*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**
3 + 168*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**2 + 72*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2) + 24*a**2*f) + 39168*A*c**5*tan(e/2 + f*x/2)**
4/(24*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**11 + 72*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**10 + 168*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**9 + 312*a**2
*f*tan(e/2 + f*x/2)**8 + 432*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**7 + 528*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**6 + 528*a**2*f*tan(e/2
+ f*x/2)**5 + 432*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**4 + 312*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**3 + 168*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**2
+ 72*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2) + 24*a**2*f) + 35360*A*c**5*tan(e/2 + f*x/2)**3/(24*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**11
+ 72*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**10 + 168*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**9 + 312*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**8 + 432*a**2*
f*tan(e/2 + f*x/2)**7 + 528*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**6 + 528*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**5 + 432*a**2*f*tan(e/2 +
f*x/2)**4 + 312*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**3 + 168*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**2 + 72*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2) + 24
*a**2*f) + 19912*A*c**5*tan(e/2 + f*x/2)**2/(24*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**11 + 72*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**10 +
168*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**9 + 312*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**8 + 432*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**7 + 528*a**2*f
*tan(e/2 + f*x/2)**6 + 528*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**5 + 432*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**4 + 312*a**2*f*tan(e/2 +
f*x/2)**3 + 168*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**2 + 72*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2) + 24*a**2*f) + 9384*A*c**5*tan(e/2 + f
*x/2)/(24*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**11 + 72*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**10 + 168*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**9 + 312*
a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**8 + 432*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**7 + 528*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**6 + 528*a**2*f*tan(
e/2 + f*x/2)**5 + 432*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**4 + 312*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**3 + 168*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2
)**2 + 72*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2) + 24*a**2*f) + 3952*A*c**5/(24*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**11 + 72*a**2*f*tan(e
/2 + f*x/2)**10 + 168*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**9 + 312*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**8 + 432*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2
)**7 + 528*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**6 + 528*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**5 + 432*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**4 + 312*
a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**3 + 168*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**2 + 72*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2) + 24*a**2*f) - 2205*B
*c**5*f*x*tan(e/2 + f*x/2)**11/(24*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**11 + 72*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**10 + 168*a**2*f*t
an(e/2 + f*x/2)**9 + 312*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**8 + 432*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**7 + 528*a**2*f*tan(e/2 + f*
x/2)**6 + 528*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**5 + 432*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**4 + 312*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**3 + 1
68*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**2 + 72*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2) + 24*a**2*f) - 6615*B*c**5*f*x*tan(e/2 + f*x/2)**10
/(24*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**11 + 72*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**10 + 168*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**9 + 312*a**2*
f*tan(e/2 + f*x/2)**8 + 432*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**7 + 528*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**6 + 528*a**2*f*tan(e/2 +
f*x/2)**5 + 432*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**4 + 312*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**3 + 168*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**2
+ 72*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2) + 24*a**2*f) - 15435*B*c**5*f*x*tan(e/2 + f*x/2)**9/(24*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**
11 + 72*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**10 + 168*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**9 + 312*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**8 + 432*a*
*2*f*tan(e/2 + f*x/2)**7 + 528*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**6 + 528*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**5 + 432*a**2*f*tan(e/
2 + f*x/2)**4 + 312*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**3 + 168*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**2 + 72*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2) +
24*a**2*f) - 28665*B*c**5*f*x*tan(e/2 + f*x/2)**8/(24*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**11 + 72*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2
)**10 + 168*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**9 + 312*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**8 + 432*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**7 + 528
*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**6 + 528*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**5 + 432*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**4 + 312*a**2*f*tan
(e/2 + f*x/2)**3 + 168*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**2 + 72*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2) + 24*a**2*f) - 39690*B*c**5*f*x
*tan(e/2 + f*x/2)**7/(24*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**11 + 72*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**10 + 168*a**2*f*tan(e/2 + f
*x/2)**9 + 312*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**8 + 432*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**7 + 528*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**6 +
528*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**5 + 432*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**4 + 312*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**3 + 168*a**2*f*
tan(e/2 + f*x/2)**2 + 72*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2) + 24*a**2*f) - 48510*B*c**5*f*x*tan(e/2 + f*x/2)**6/(24*a**2*
f*tan(e/2 + f*x/2)**11 + 72*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**10 + 168*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**9 + 312*a**2*f*tan(e/2
+ f*x/2)**8 + 432*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**7 + 528*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**6 + 528*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**5
+ 432*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**4 + 312*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**3 + 168*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**2 + 72*a**2*
f*tan(e/2 + f*x/2) + 24*a**2*f) - 48510*B*c**5*f*x*tan(e/2 + f*x/2)**5/(24*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**11 + 72*a*
*2*f*tan(e/2 + f*x/2)**10 + 168*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**9 + 312*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**8 + 432*a**2*f*tan(e
/2 + f*x/2)**7 + 528*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**6 + 528*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**5 + 432*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)
**4 + 312*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**3 + 168*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**2 + 72*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2) + 24*a**2*f
) - 39690*B*c**5*f*x*tan(e/2 + f*x/2)**4/(24*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**11 + 72*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**10 + 16
8*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**9 + 312*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**8 + 432*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**7 + 528*a**2*f*ta
n(e/2 + f*x/2)**6 + 528*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**5 + 432*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**4 + 312*a**2*f*tan(e/2 + f*x
/2)**3 + 168*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**2 + 72*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2) + 24*a**2*f) - 28665*B*c**5*f*x*tan(e/2 +
f*x/2)**3/(24*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**11 + 72*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**10 + 168*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**9 +
312*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**8 + 432*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**7 + 528*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**6 + 528*a**2*f
*tan(e/2 + f*x/2)**5 + 432*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**4 + 312*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**3 + 168*a**2*f*tan(e/2 +
f*x/2)**2 + 72*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2) + 24*a**2*f) - 15435*B*c**5*f*x*tan(e/2 + f*x/2)**2/(24*a**2*f*tan(e/2
+ f*x/2)**11 + 72*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**10 + 168*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**9 + 312*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**
8 + 432*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**7 + 528*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**6 + 528*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**5 + 432*a**
2*f*tan(e/2 + f*x/2)**4 + 312*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**3 + 168*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**2 + 72*a**2*f*tan(e/2
+ f*x/2) + 24*a**2*f) - 6615*B*c**5*f*x*tan(e/2 + f*x/2)/(24*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**11 + 72*a**2*f*tan(e/2 +
f*x/2)**10 + 168*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**9 + 312*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**8 + 432*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**7
+ 528*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**6 + 528*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**5 + 432*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**4 + 312*a**2
*f*tan(e/2 + f*x/2)**3 + 168*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**2 + 72*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2) + 24*a**2*f) - 2205*B*c**
5*f*x/(24*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**11 + 72*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**10 + 168*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**9 + 312*
a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**8 + 432*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**7 + 528*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**6 + 528*a**2*f*tan(
e/2 + f*x/2)**5 + 432*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**4 + 312*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**3 + 168*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2
)**2 + 72*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2) + 24*a**2*f) - 4410*B*c**5*tan(e/2 + f*x/2)**10/(24*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)*
*11 + 72*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**10 + 168*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**9 + 312*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**8 + 432*a
**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**7 + 528*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**6 + 528*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**5 + 432*a**2*f*tan(e
/2 + f*x/2)**4 + 312*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**3 + 168*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**2 + 72*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)
+ 24*a**2*f) - 13278*B*c**5*tan(e/2 + f*x/2)**9/(24*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**11 + 72*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**
10 + 168*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**9 + 312*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**8 + 432*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**7 + 528*a*
*2*f*tan(e/2 + f*x/2)**6 + 528*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**5 + 432*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**4 + 312*a**2*f*tan(e/
2 + f*x/2)**3 + 168*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**2 + 72*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2) + 24*a**2*f) - 29096*B*c**5*tan(e/
2 + f*x/2)**8/(24*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**11 + 72*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**10 + 168*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**
9 + 312*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**8 + 432*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**7 + 528*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**6 + 528*a**
2*f*tan(e/2 + f*x/2)**5 + 432*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**4 + 312*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**3 + 168*a**2*f*tan(e/2
+ f*x/2)**2 + 72*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2) + 24*a**2*f) - 54072*B*c**5*tan(e/2 + f*x/2)**7/(24*a**2*f*tan(e/2 +
f*x/2)**11 + 72*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**10 + 168*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**9 + 312*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**8
+ 432*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**7 + 528*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**6 + 528*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**5 + 432*a**2
*f*tan(e/2 + f*x/2)**4 + 312*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**3 + 168*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**2 + 72*a**2*f*tan(e/2 +
f*x/2) + 24*a**2*f) - 67220*B*c**5*tan(e/2 + f*x/2)**6/(24*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**11 + 72*a**2*f*tan(e/2 +
f*x/2)**10 + 168*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**9 + 312*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**8 + 432*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**7
+ 528*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**6 + 528*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**5 + 432*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**4 + 312*a**2*
f*tan(e/2 + f*x/2)**3 + 168*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**2 + 72*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2) + 24*a**2*f) - 85196*B*c**
5*tan(e/2 + f*x/2)**5/(24*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**11 + 72*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**10 + 168*a**2*f*tan(e/2 +
f*x/2)**9 + 312*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**8 + 432*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**7 + 528*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**6 +
528*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**5 + 432*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**4 + 312*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**3 + 168*a**2*f
*tan(e/2 + f*x/2)**2 + 72*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2) + 24*a**2*f) - 70632*B*c**5*tan(e/2 + f*x/2)**4/(24*a**2*f*t
an(e/2 + f*x/2)**11 + 72*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**10 + 168*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**9 + 312*a**2*f*tan(e/2 + f
*x/2)**8 + 432*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**7 + 528*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**6 + 528*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**5 +
432*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**4 + 312*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**3 + 168*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**2 + 72*a**2*f*t
an(e/2 + f*x/2) + 24*a**2*f) - 60968*B*c**5*tan(e/2 + f*x/2)**3/(24*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**11 + 72*a**2*f*ta
n(e/2 + f*x/2)**10 + 168*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**9 + 312*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**8 + 432*a**2*f*tan(e/2 + f*
x/2)**7 + 528*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**6 + 528*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**5 + 432*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**4 + 3
12*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**3 + 168*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**2 + 72*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2) + 24*a**2*f) - 352
18*B*c**5*tan(e/2 + f*x/2)**2/(24*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**11 + 72*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**10 + 168*a**2*f*ta
n(e/2 + f*x/2)**9 + 312*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**8 + 432*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**7 + 528*a**2*f*tan(e/2 + f*x
/2)**6 + 528*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**5 + 432*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**4 + 312*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**3 + 16
8*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**2 + 72*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2) + 24*a**2*f) - 16374*B*c**5*tan(e/2 + f*x/2)/(24*a**
2*f*tan(e/2 + f*x/2)**11 + 72*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**10 + 168*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**9 + 312*a**2*f*tan(e/
2 + f*x/2)**8 + 432*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**7 + 528*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**6 + 528*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)*
*5 + 432*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**4 + 312*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**3 + 168*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**2 + 72*a**
2*f*tan(e/2 + f*x/2) + 24*a**2*f) - 6928*B*c**5/(24*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**11 + 72*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**
10 + 168*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**9 + 312*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**8 + 432*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**7 + 528*a*
*2*f*tan(e/2 + f*x/2)**6 + 528*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**5 + 432*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**4 + 312*a**2*f*tan(e/
2 + f*x/2)**3 + 168*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2)**2 + 72*a**2*f*tan(e/2 + f*x/2) + 24*a**2*f), Ne(f, 0)), (x*(A + B
*sin(e))*(-c*sin(e) + c)**5/(a*sin(e) + a)**2, True))

Maxima [B] (verification not implemented)

Leaf count of result is larger than twice the leaf count of optimal. 2982 vs. \(2 (228) = 456\).

Time = 0.36 (sec) , antiderivative size = 2982, normalized size of antiderivative = 12.42 \[ \int \frac {(A+B \sin (e+f x)) (c-c \sin (e+f x))^5}{(a+a \sin (e+f x))^2} \, dx=\text {Too large to display} \]

[In]

integrate((A+B*sin(f*x+e))*(c-c*sin(f*x+e))^5/(a+a*sin(f*x+e))^2,x, algorithm="maxima")

[Out]

-1/12*(B*c^5*((603*sin(f*x + e)/(cos(f*x + e) + 1) + 1297*sin(f*x + e)^2/(cos(f*x + e) + 1)^2 + 2228*sin(f*x +
e)^3/(cos(f*x + e) + 1)^3 + 2628*sin(f*x + e)^4/(cos(f*x + e) + 1)^4 + 3014*sin(f*x + e)^5/(cos(f*x + e) + 1)
^5 + 2618*sin(f*x + e)^6/(cos(f*x + e) + 1)^6 + 1980*sin(f*x + e)^7/(cos(f*x + e) + 1)^7 + 1100*sin(f*x + e)^8
/(cos(f*x + e) + 1)^8 + 495*sin(f*x + e)^9/(cos(f*x + e) + 1)^9 + 165*sin(f*x + e)^10/(cos(f*x + e) + 1)^10 +
256)/(a^2 + 3*a^2*sin(f*x + e)/(cos(f*x + e) + 1) + 7*a^2*sin(f*x + e)^2/(cos(f*x + e) + 1)^2 + 13*a^2*sin(f*x
+ e)^3/(cos(f*x + e) + 1)^3 + 18*a^2*sin(f*x + e)^4/(cos(f*x + e) + 1)^4 + 22*a^2*sin(f*x + e)^5/(cos(f*x + e
) + 1)^5 + 22*a^2*sin(f*x + e)^6/(cos(f*x + e) + 1)^6 + 18*a^2*sin(f*x + e)^7/(cos(f*x + e) + 1)^7 + 13*a^2*si
n(f*x + e)^8/(cos(f*x + e) + 1)^8 + 7*a^2*sin(f*x + e)^9/(cos(f*x + e) + 1)^9 + 3*a^2*sin(f*x + e)^10/(cos(f*x
+ e) + 1)^10 + a^2*sin(f*x + e)^11/(cos(f*x + e) + 1)^11) + 165*arctan(sin(f*x + e)/(cos(f*x + e) + 1))/a^2)
- 20*A*c^5*((75*sin(f*x + e)/(cos(f*x + e) + 1) + 97*sin(f*x + e)^2/(cos(f*x + e) + 1)^2 + 126*sin(f*x + e)^3/
(cos(f*x + e) + 1)^3 + 98*sin(f*x + e)^4/(cos(f*x + e) + 1)^4 + 63*sin(f*x + e)^5/(cos(f*x + e) + 1)^5 + 21*si
n(f*x + e)^6/(cos(f*x + e) + 1)^6 + 32)/(a^2 + 3*a^2*sin(f*x + e)/(cos(f*x + e) + 1) + 5*a^2*sin(f*x + e)^2/(c
os(f*x + e) + 1)^2 + 7*a^2*sin(f*x + e)^3/(cos(f*x + e) + 1)^3 + 7*a^2*sin(f*x + e)^4/(cos(f*x + e) + 1)^4 + 5
*a^2*sin(f*x + e)^5/(cos(f*x + e) + 1)^5 + 3*a^2*sin(f*x + e)^6/(cos(f*x + e) + 1)^6 + a^2*sin(f*x + e)^7/(cos
(f*x + e) + 1)^7) + 21*arctan(sin(f*x + e)/(cos(f*x + e) + 1))/a^2) + 40*B*c^5*((75*sin(f*x + e)/(cos(f*x + e)
+ 1) + 97*sin(f*x + e)^2/(cos(f*x + e) + 1)^2 + 126*sin(f*x + e)^3/(cos(f*x + e) + 1)^3 + 98*sin(f*x + e)^4/(
cos(f*x + e) + 1)^4 + 63*sin(f*x + e)^5/(cos(f*x + e) + 1)^5 + 21*sin(f*x + e)^6/(cos(f*x + e) + 1)^6 + 32)/(a
^2 + 3*a^2*sin(f*x + e)/(cos(f*x + e) + 1) + 5*a^2*sin(f*x + e)^2/(cos(f*x + e) + 1)^2 + 7*a^2*sin(f*x + e)^3/
(cos(f*x + e) + 1)^3 + 7*a^2*sin(f*x + e)^4/(cos(f*x + e) + 1)^4 + 5*a^2*sin(f*x + e)^5/(cos(f*x + e) + 1)^5 +
3*a^2*sin(f*x + e)^6/(cos(f*x + e) + 1)^6 + a^2*sin(f*x + e)^7/(cos(f*x + e) + 1)^7) + 21*arctan(sin(f*x + e)
/(cos(f*x + e) + 1))/a^2) - 8*A*c^5*((57*sin(f*x + e)/(cos(f*x + e) + 1) + 99*sin(f*x + e)^2/(cos(f*x + e) + 1
)^2 + 155*sin(f*x + e)^3/(cos(f*x + e) + 1)^3 + 153*sin(f*x + e)^4/(cos(f*x + e) + 1)^4 + 135*sin(f*x + e)^5/(
cos(f*x + e) + 1)^5 + 85*sin(f*x + e)^6/(cos(f*x + e) + 1)^6 + 45*sin(f*x + e)^7/(cos(f*x + e) + 1)^7 + 15*sin
(f*x + e)^8/(cos(f*x + e) + 1)^8 + 24)/(a^2 + 3*a^2*sin(f*x + e)/(cos(f*x + e) + 1) + 6*a^2*sin(f*x + e)^2/(co
s(f*x + e) + 1)^2 + 10*a^2*sin(f*x + e)^3/(cos(f*x + e) + 1)^3 + 12*a^2*sin(f*x + e)^4/(cos(f*x + e) + 1)^4 +
12*a^2*sin(f*x + e)^5/(cos(f*x + e) + 1)^5 + 10*a^2*sin(f*x + e)^6/(cos(f*x + e) + 1)^6 + 6*a^2*sin(f*x + e)^7
/(cos(f*x + e) + 1)^7 + 3*a^2*sin(f*x + e)^8/(cos(f*x + e) + 1)^8 + a^2*sin(f*x + e)^9/(cos(f*x + e) + 1)^9) +
15*arctan(sin(f*x + e)/(cos(f*x + e) + 1))/a^2) + 40*B*c^5*((57*sin(f*x + e)/(cos(f*x + e) + 1) + 99*sin(f*x
+ e)^2/(cos(f*x + e) + 1)^2 + 155*sin(f*x + e)^3/(cos(f*x + e) + 1)^3 + 153*sin(f*x + e)^4/(cos(f*x + e) + 1)^
4 + 135*sin(f*x + e)^5/(cos(f*x + e) + 1)^5 + 85*sin(f*x + e)^6/(cos(f*x + e) + 1)^6 + 45*sin(f*x + e)^7/(cos(
f*x + e) + 1)^7 + 15*sin(f*x + e)^8/(cos(f*x + e) + 1)^8 + 24)/(a^2 + 3*a^2*sin(f*x + e)/(cos(f*x + e) + 1) +
6*a^2*sin(f*x + e)^2/(cos(f*x + e) + 1)^2 + 10*a^2*sin(f*x + e)^3/(cos(f*x + e) + 1)^3 + 12*a^2*sin(f*x + e)^4
/(cos(f*x + e) + 1)^4 + 12*a^2*sin(f*x + e)^5/(cos(f*x + e) + 1)^5 + 10*a^2*sin(f*x + e)^6/(cos(f*x + e) + 1)^
6 + 6*a^2*sin(f*x + e)^7/(cos(f*x + e) + 1)^7 + 3*a^2*sin(f*x + e)^8/(cos(f*x + e) + 1)^8 + a^2*sin(f*x + e)^9
/(cos(f*x + e) + 1)^9) + 15*arctan(sin(f*x + e)/(cos(f*x + e) + 1))/a^2) - 160*A*c^5*((12*sin(f*x + e)/(cos(f*
x + e) + 1) + 11*sin(f*x + e)^2/(cos(f*x + e) + 1)^2 + 9*sin(f*x + e)^3/(cos(f*x + e) + 1)^3 + 3*sin(f*x + e)^
4/(cos(f*x + e) + 1)^4 + 5)/(a^2 + 3*a^2*sin(f*x + e)/(cos(f*x + e) + 1) + 4*a^2*sin(f*x + e)^2/(cos(f*x + e)
+ 1)^2 + 4*a^2*sin(f*x + e)^3/(cos(f*x + e) + 1)^3 + 3*a^2*sin(f*x + e)^4/(cos(f*x + e) + 1)^4 + a^2*sin(f*x +
e)^5/(cos(f*x + e) + 1)^5) + 3*arctan(sin(f*x + e)/(cos(f*x + e) + 1))/a^2) + 160*B*c^5*((12*sin(f*x + e)/(co
s(f*x + e) + 1) + 11*sin(f*x + e)^2/(cos(f*x + e) + 1)^2 + 9*sin(f*x + e)^3/(cos(f*x + e) + 1)^3 + 3*sin(f*x +
e)^4/(cos(f*x + e) + 1)^4 + 5)/(a^2 + 3*a^2*sin(f*x + e)/(cos(f*x + e) + 1) + 4*a^2*sin(f*x + e)^2/(cos(f*x +
e) + 1)^2 + 4*a^2*sin(f*x + e)^3/(cos(f*x + e) + 1)^3 + 3*a^2*sin(f*x + e)^4/(cos(f*x + e) + 1)^4 + a^2*sin(f
*x + e)^5/(cos(f*x + e) + 1)^5) + 3*arctan(sin(f*x + e)/(cos(f*x + e) + 1))/a^2) - 80*A*c^5*((9*sin(f*x + e)/(
cos(f*x + e) + 1) + 3*sin(f*x + e)^2/(cos(f*x + e) + 1)^2 + 4)/(a^2 + 3*a^2*sin(f*x + e)/(cos(f*x + e) + 1) +
3*a^2*sin(f*x + e)^2/(cos(f*x + e) + 1)^2 + a^2*sin(f*x + e)^3/(cos(f*x + e) + 1)^3) + 3*arctan(sin(f*x + e)/(
cos(f*x + e) + 1))/a^2) + 40*B*c^5*((9*sin(f*x + e)/(cos(f*x + e) + 1) + 3*sin(f*x + e)^2/(cos(f*x + e) + 1)^2
+ 4)/(a^2 + 3*a^2*sin(f*x + e)/(cos(f*x + e) + 1) + 3*a^2*sin(f*x + e)^2/(cos(f*x + e) + 1)^2 + a^2*sin(f*x +
e)^3/(cos(f*x + e) + 1)^3) + 3*arctan(sin(f*x + e)/(cos(f*x + e) + 1))/a^2) + 8*A*c^5*(3*sin(f*x + e)/(cos(f*
x + e) + 1) + 3*sin(f*x + e)^2/(cos(f*x + e) + 1)^2 + 2)/(a^2 + 3*a^2*sin(f*x + e)/(cos(f*x + e) + 1) + 3*a^2*
sin(f*x + e)^2/(cos(f*x + e) + 1)^2 + a^2*sin(f*x + e)^3/(cos(f*x + e) + 1)^3) - 40*A*c^5*(3*sin(f*x + e)/(cos
(f*x + e) + 1) + 1)/(a^2 + 3*a^2*sin(f*x + e)/(cos(f*x + e) + 1) + 3*a^2*sin(f*x + e)^2/(cos(f*x + e) + 1)^2 +
a^2*sin(f*x + e)^3/(cos(f*x + e) + 1)^3) + 8*B*c^5*(3*sin(f*x + e)/(cos(f*x + e) + 1) + 1)/(a^2 + 3*a^2*sin(f
*x + e)/(cos(f*x + e) + 1) + 3*a^2*sin(f*x + e)^2/(cos(f*x + e) + 1)^2 + a^2*sin(f*x + e)^3/(cos(f*x + e) + 1)
^3))/f

Giac [A] (verification not implemented)

none

Time = 0.37 (sec) , antiderivative size = 391, normalized size of antiderivative = 1.63 \[ \int \frac {(A+B \sin (e+f x)) (c-c \sin (e+f x))^5}{(a+a \sin (e+f x))^2} \, dx=\frac {\frac {315 \, {\left (4 \, A c^{5} - 7 \, B c^{5}\right )} {\left (f x + e\right )}}{a^{2}} + \frac {256 \, {\left (9 \, A c^{5} \tan \left (\frac {1}{2} \, f x + \frac {1}{2} \, e\right )^{2} - 15 \, B c^{5} \tan \left (\frac {1}{2} \, f x + \frac {1}{2} \, e\right )^{2} + 24 \, A c^{5} \tan \left (\frac {1}{2} \, f x + \frac {1}{2} \, e\right ) - 36 \, B c^{5} \tan \left (\frac {1}{2} \, f x + \frac {1}{2} \, e\right ) + 11 \, A c^{5} - 17 \, B c^{5}\right )}}{a^{2} {\left (\tan \left (\frac {1}{2} \, f x + \frac {1}{2} \, e\right ) + 1\right )}^{3}} + \frac {2 \, {\left (84 \, A c^{5} \tan \left (\frac {1}{2} \, f x + \frac {1}{2} \, e\right )^{7} - 285 \, B c^{5} \tan \left (\frac {1}{2} \, f x + \frac {1}{2} \, e\right )^{7} + 552 \, A c^{5} \tan \left (\frac {1}{2} \, f x + \frac {1}{2} \, e\right )^{6} - 1176 \, B c^{5} \tan \left (\frac {1}{2} \, f x + \frac {1}{2} \, e\right )^{6} + 84 \, A c^{5} \tan \left (\frac {1}{2} \, f x + \frac {1}{2} \, e\right )^{5} - 309 \, B c^{5} \tan \left (\frac {1}{2} \, f x + \frac {1}{2} \, e\right )^{5} + 1704 \, A c^{5} \tan \left (\frac {1}{2} \, f x + \frac {1}{2} \, e\right )^{4} - 3864 \, B c^{5} \tan \left (\frac {1}{2} \, f x + \frac {1}{2} \, e\right )^{4} - 84 \, A c^{5} \tan \left (\frac {1}{2} \, f x + \frac {1}{2} \, e\right )^{3} + 309 \, B c^{5} \tan \left (\frac {1}{2} \, f x + \frac {1}{2} \, e\right )^{3} + 1720 \, A c^{5} \tan \left (\frac {1}{2} \, f x + \frac {1}{2} \, e\right )^{2} - 3976 \, B c^{5} \tan \left (\frac {1}{2} \, f x + \frac {1}{2} \, e\right )^{2} - 84 \, A c^{5} \tan \left (\frac {1}{2} \, f x + \frac {1}{2} \, e\right ) + 285 \, B c^{5} \tan \left (\frac {1}{2} \, f x + \frac {1}{2} \, e\right ) + 568 \, A c^{5} - 1288 \, B c^{5}\right )}}{{\left (\tan \left (\frac {1}{2} \, f x + \frac {1}{2} \, e\right )^{2} + 1\right )}^{4} a^{2}}}{24 \, f} \]

[In]

integrate((A+B*sin(f*x+e))*(c-c*sin(f*x+e))^5/(a+a*sin(f*x+e))^2,x, algorithm="giac")

[Out]

1/24*(315*(4*A*c^5 - 7*B*c^5)*(f*x + e)/a^2 + 256*(9*A*c^5*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^2 - 15*B*c^5*tan(1/2*f*x + 1/2
*e)^2 + 24*A*c^5*tan(1/2*f*x + 1/2*e) - 36*B*c^5*tan(1/2*f*x + 1/2*e) + 11*A*c^5 - 17*B*c^5)/(a^2*(tan(1/2*f*x
+ 1/2*e) + 1)^3) + 2*(84*A*c^5*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^7 - 285*B*c^5*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^7 + 552*A*c^5*tan(1/2*
f*x + 1/2*e)^6 - 1176*B*c^5*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^6 + 84*A*c^5*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^5 - 309*B*c^5*tan(1/2*f*x +
1/2*e)^5 + 1704*A*c^5*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^4 - 3864*B*c^5*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^4 - 84*A*c^5*tan(1/2*f*x + 1/2
*e)^3 + 309*B*c^5*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^3 + 1720*A*c^5*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^2 - 3976*B*c^5*tan(1/2*f*x + 1/2*e)
^2 - 84*A*c^5*tan(1/2*f*x + 1/2*e) + 285*B*c^5*tan(1/2*f*x + 1/2*e) + 568*A*c^5 - 1288*B*c^5)/((tan(1/2*f*x +
1/2*e)^2 + 1)^4*a^2))/f

Mupad [B] (verification not implemented)

Time = 15.17 (sec) , antiderivative size = 500, normalized size of antiderivative = 2.08 \[ \int \frac {(A+B \sin (e+f x)) (c-c \sin (e+f x))^5}{(a+a \sin (e+f x))^2} \, dx=\frac {\mathrm {tan}\left (\frac {e}{2}+\frac {f\,x}{2}\right )\,\left (391\,A\,c^5-\frac {2729\,B\,c^5}{4}\right )+\frac {494\,A\,c^5}{3}-\frac {866\,B\,c^5}{3}+{\mathrm {tan}\left (\frac {e}{2}+\frac {f\,x}{2}\right )}^{10}\,\left (103\,A\,c^5-\frac {735\,B\,c^5}{4}\right )+{\mathrm {tan}\left (\frac {e}{2}+\frac {f\,x}{2}\right )}^9\,\left (323\,A\,c^5-\frac {2213\,B\,c^5}{4}\right )+{\mathrm {tan}\left (\frac {e}{2}+\frac {f\,x}{2}\right )}^7\,\left (1332\,A\,c^5-2253\,B\,c^5\right )+{\mathrm {tan}\left (\frac {e}{2}+\frac {f\,x}{2}\right )}^4\,\left (1632\,A\,c^5-2943\,B\,c^5\right )+{\mathrm {tan}\left (\frac {e}{2}+\frac {f\,x}{2}\right )}^8\,\left (\frac {2002\,A\,c^5}{3}-\frac {3637\,B\,c^5}{3}\right )+{\mathrm {tan}\left (\frac {e}{2}+\frac {f\,x}{2}\right )}^3\,\left (\frac {4420\,A\,c^5}{3}-\frac {7621\,B\,c^5}{3}\right )+{\mathrm {tan}\left (\frac {e}{2}+\frac {f\,x}{2}\right )}^2\,\left (\frac {2489\,A\,c^5}{3}-\frac {17609\,B\,c^5}{12}\right )+{\mathrm {tan}\left (\frac {e}{2}+\frac {f\,x}{2}\right )}^6\,\left (\frac {4594\,A\,c^5}{3}-\frac {16805\,B\,c^5}{6}\right )+{\mathrm {tan}\left (\frac {e}{2}+\frac {f\,x}{2}\right )}^5\,\left (\frac {6274\,A\,c^5}{3}-\frac {21299\,B\,c^5}{6}\right )}{f\,\left (a^2\,{\mathrm {tan}\left (\frac {e}{2}+\frac {f\,x}{2}\right )}^{11}+3\,a^2\,{\mathrm {tan}\left (\frac {e}{2}+\frac {f\,x}{2}\right )}^{10}+7\,a^2\,{\mathrm {tan}\left (\frac {e}{2}+\frac {f\,x}{2}\right )}^9+13\,a^2\,{\mathrm {tan}\left (\frac {e}{2}+\frac {f\,x}{2}\right )}^8+18\,a^2\,{\mathrm {tan}\left (\frac {e}{2}+\frac {f\,x}{2}\right )}^7+22\,a^2\,{\mathrm {tan}\left (\frac {e}{2}+\frac {f\,x}{2}\right )}^6+22\,a^2\,{\mathrm {tan}\left (\frac {e}{2}+\frac {f\,x}{2}\right )}^5+18\,a^2\,{\mathrm {tan}\left (\frac {e}{2}+\frac {f\,x}{2}\right )}^4+13\,a^2\,{\mathrm {tan}\left (\frac {e}{2}+\frac {f\,x}{2}\right )}^3+7\,a^2\,{\mathrm {tan}\left (\frac {e}{2}+\frac {f\,x}{2}\right )}^2+3\,a^2\,\mathrm {tan}\left (\frac {e}{2}+\frac {f\,x}{2}\right )+a^2\right )}+\frac {105\,c^5\,\mathrm {atan}\left (\frac {105\,c^5\,\mathrm {tan}\left (\frac {e}{2}+\frac {f\,x}{2}\right )\,\left (4\,A-7\,B\right )}{420\,A\,c^5-735\,B\,c^5}\right )\,\left (4\,A-7\,B\right )}{4\,a^2\,f} \]

[In]

int(((A + B*sin(e + f*x))*(c - c*sin(e + f*x))^5)/(a + a*sin(e + f*x))^2,x)

[Out]

(tan(e/2 + (f*x)/2)*(391*A*c^5 - (2729*B*c^5)/4) + (494*A*c^5)/3 - (866*B*c^5)/3 + tan(e/2 + (f*x)/2)^10*(103*
A*c^5 - (735*B*c^5)/4) + tan(e/2 + (f*x)/2)^9*(323*A*c^5 - (2213*B*c^5)/4) + tan(e/2 + (f*x)/2)^7*(1332*A*c^5
- 2253*B*c^5) + tan(e/2 + (f*x)/2)^4*(1632*A*c^5 - 2943*B*c^5) + tan(e/2 + (f*x)/2)^8*((2002*A*c^5)/3 - (3637*
B*c^5)/3) + tan(e/2 + (f*x)/2)^3*((4420*A*c^5)/3 - (7621*B*c^5)/3) + tan(e/2 + (f*x)/2)^2*((2489*A*c^5)/3 - (1
7609*B*c^5)/12) + tan(e/2 + (f*x)/2)^6*((4594*A*c^5)/3 - (16805*B*c^5)/6) + tan(e/2 + (f*x)/2)^5*((6274*A*c^5)
/3 - (21299*B*c^5)/6))/(f*(7*a^2*tan(e/2 + (f*x)/2)^2 + 13*a^2*tan(e/2 + (f*x)/2)^3 + 18*a^2*tan(e/2 + (f*x)/2
)^4 + 22*a^2*tan(e/2 + (f*x)/2)^5 + 22*a^2*tan(e/2 + (f*x)/2)^6 + 18*a^2*tan(e/2 + (f*x)/2)^7 + 13*a^2*tan(e/2
+ (f*x)/2)^8 + 7*a^2*tan(e/2 + (f*x)/2)^9 + 3*a^2*tan(e/2 + (f*x)/2)^10 + a^2*tan(e/2 + (f*x)/2)^11 + a^2 + 3
*a^2*tan(e/2 + (f*x)/2))) + (105*c^5*atan((105*c^5*tan(e/2 + (f*x)/2)*(4*A - 7*B))/(420*A*c^5 - 735*B*c^5))*(4
*A - 7*B))/(4*a^2*f)